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2024年湖南師范大學(xué)非全日制研究生招生考試《實(shí)變函數(shù)》考試大綱

來(lái)源：在職研究生招生信息網(wǎng) 發(fā)布時(shí)間：2024-03-02 13:02:02

　　考試內(nèi)容及要點(diǎn)

　　(一)測(cè)度論與可測(cè)函數(shù)部分

　　1、n維歐式空間中的點(diǎn)集

　　考試內(nèi)容：開(kāi)集、閉集的構(gòu)造、分離定理

　　考試要點(diǎn)：

　　 要求考生熟練掌握開(kāi)集閉集的概念及其構(gòu)造定理。

　　 要求考生理解Cantor集。

　　 要求考生熟練掌握分離定理。

　　2、測(cè)度論

　　考試內(nèi)容：ebesgue 外測(cè)度，可測(cè)集、可測(cè)集類(lèi)

　　考試要點(diǎn)：

　　 測(cè)度的定義和性質(zhì)；

　　 掌握ebesgue 外測(cè)度和測(cè)度的定義和基本性質(zhì)；

　　 練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測(cè)集的定義及可測(cè)集的基本運(yùn)算性質(zhì)。

　　 掌握零測(cè)集的性質(zhì)；開(kāi)集、閉集的可測(cè)性；

　　 了解特殊的兩類(lèi)集合，波雷耳集。

　　3、可測(cè)函數(shù)

　　考試內(nèi)容：可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，依測(cè)度收斂

　　考試要點(diǎn)：

　　 熟練掌握可測(cè)函數(shù)及其四則運(yùn)算，可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系，幾乎處處成立的概念；

　　 理解葉果洛夫定理；

　　 理解并掌握魯津定理及其逆定理；

　　 熟練掌握依測(cè)度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的幾個(gè)反例，Riese定理和ebesgue收斂定理

　　(二)ebesgue積分與不定積分部分

　　1、ebesgue積分的概念與性質(zhì)

　　考試內(nèi)容：勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分的極限定理

　　考試要點(diǎn)：

　　 理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個(gè)充要條件；可積的四則運(yùn)算， 勒貝格積分與Riemann積分的關(guān)系；

　　 熟練掌握勒貝格積分的基本性質(zhì)和絕對(duì)連續(xù)性；

　　 熟練掌握一般可積函數(shù)的積分的定義和初等性質(zhì)。

　　 牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理， 逐項(xiàng)積分定理，積分的可數(shù)可加性，F(xiàn)atou引理及有關(guān)積分與求導(dǎo)交換的定理。

　　2、微分和不定積分

　　考試內(nèi)容：有界變差函數(shù)、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)

　　考試要點(diǎn)：

　　 熟練掌握有界變差的定義，理解ebesgue定理；

　　 充分理解絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，并理解絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與不定積分的關(guān)系。

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