2024年大連海事大學(xué)非全日制研究生招生考試《高等代數(shù)》考試大綱

　　考試內(nèi)容

　　一、 多項(xiàng)式

　　1. 多項(xiàng)式的帶余除法、整除性，最大公因式、互素多項(xiàng)式。

　　2. 不可約多項(xiàng)式，因式分解唯一性定理，重因式，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定。

　　3. 多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根，有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法，根與系數(shù)關(guān)系。

　　二、 行列式

　　1.n階行列式的概念和基本性質(zhì)，行列式的子式、余子式以及代數(shù)余子式。

　　2.行列式按行(列)展開(kāi)定理，范德蒙德行列式，克拉姆法則，拉普拉斯定理，行列式乘積規(guī)則。

　　3. 行列式的計(jì)算。

　　三、 線(xiàn)性方程組

　　1. 向量空間。

　　2.向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

　　3.向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，向量組的秩。

　　4.等價(jià)向量組的概念和性質(zhì)。

　　5.矩陣的秩。

　　6.求解線(xiàn)性方程組的消元法。

　　7.線(xiàn)性方程組有解的判定，齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件。

　　8.齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，解空間。

　　9.非齊次線(xiàn)性方程組的解向量的性質(zhì)和通解。

　　四、 矩陣

　　1.矩陣的加法、乘積、方冪、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及性質(zhì)。

　　2.矩陣的初等變換，矩陣的等價(jià)，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。

　　3.初等矩陣的概念和性質(zhì)。

　　4.逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，用伴隨矩陣及初等變換求逆矩陣。

　　5.分塊初等矩陣及應(yīng)用。

　　五、 二次型

　　1.二次型的矩陣表示及秩。

　　2.用可逆線(xiàn)性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(配方法，初等變換法)。

　　3.合同矩陣、對(duì)稱(chēng)陣在合同變換下的標(biāo)準(zhǔn)形。

　　4.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

　　5.復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，慣性定理。

　　6.正、負(fù)定二次型(或正、負(fù)定矩陣)的判定。

　　六、 線(xiàn)性空間

　　1.線(xiàn)性空間、基底、維數(shù)及坐標(biāo)等概念。

　　2.線(xiàn)性空間的基變換與坐標(biāo)變換、過(guò)渡矩陣。

　　3.線(xiàn)性子空間及其交與和的基與維數(shù)、維數(shù)公式。

　　4.線(xiàn)性子空間的直和。

　　5.線(xiàn)性空間的同構(gòu)。

　　七、 線(xiàn)性變換

　　1.線(xiàn)性變換的概念、矩陣表示、秩、運(yùn)算及在給定基下的矩陣。

　　2.線(xiàn)性變換(矩陣)的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)。

　　3.相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)。

　　4.線(xiàn)性變換(矩陣)可相似對(duì)角化的充要條件。

　　5.正交矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)陣及其性質(zhì)。

　　6.值域與核的基與維數(shù)。

　　7.不變子空間。

　　8.哈密爾頓-凱萊定理，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式。

　　八、λ-矩陣

　　1.λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子以及三種因子之間的關(guān)系。

　　2.λ-矩陣的等價(jià)與數(shù)字矩陣的相似。

　　3. 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的理論推導(dǎo)。

　　九、 歐氏空間

　　1.向量的內(nèi)積、范數(shù)(長(zhǎng)度)、夾角。

　　2.施密特正交化過(guò)程，標(biāo)準(zhǔn)正交基。

　　3.正交子空間和正交補(bǔ)。

　　4.正交變換和對(duì)稱(chēng)變換的概念和性質(zhì)。

　　5. 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣正交相似于對(duì)角陣的計(jì)算。

　　參考書(shū)目

　　1.課程教材：《高等代數(shù)》(第五版)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編(王萼芳、石生明修訂)，高等教育出版社，2019年。

　　2.參考資料：徐仲等編，《高等代數(shù)導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考(第四版)》，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2014年。

　　3.參考資料：孫怡東主編，《高等代數(shù)輔導(dǎo)》(第二版)，大連海事大學(xué)出版社，2023年。