2024年北方工業(yè)大學(xué)非全日制研究生招生考試《高等代數(shù)》考試大綱

　　一、考試性質(zhì)與范圍

　　《高等代數(shù)》是數(shù)學(xué)類各專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)必修課。它具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性。高等代數(shù)在數(shù)學(xué)的其它分支以及其它各個(gè)學(xué)科中都有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。

　　考試范圍包括多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ—矩陣、歐氏空間。

　　二、考試基本要求

　　要求學(xué)生必須掌握《高等代數(shù)》的基本概念、定理和性質(zhì);能夠運(yùn)用高等代數(shù)的基本理論和方法解決代數(shù)問題，具備一定的計(jì)算和證明能力;能夠分析和理解代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和相互關(guān)系，具備抽象思維和邏輯推理能力。

　　三、考試形式與分值

　　1. 閉卷，筆試;

　　2. 滿分為 150 分;

　　3. 題型為填空、選擇、計(jì)算、證明等。

　　四、考試內(nèi)容

　　1. 多項(xiàng)式

　　數(shù)域的概念;一元多項(xiàng)式環(huán)的概念;帶余除法，整除及其性質(zhì); 最大公因式的概念和有關(guān)定理;輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式;互素的概念;互素的充要條件及有關(guān)結(jié)論;不可約多項(xiàng)式的概念和性質(zhì);數(shù)域P 上的因式分解及唯一性定理;重因式的概念和判定方法及有關(guān)推論; 多項(xiàng)式函數(shù)的概念;余數(shù)定理;根與一次因式的關(guān)系;多項(xiàng)式與其根的聯(lián)系、多項(xiàng)式與其值的聯(lián)系;代數(shù)基本定理;復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理;本原多項(xiàng)式的概念;高斯定理; 整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根的方法;艾森斯坦因判別法。

　　2. 行列式

　　排列及其逆序數(shù)和奇偶性的概念;對(duì)換的概念及其對(duì)排列的奇偶性的作用;n 級(jí)行列式的概念;n 級(jí)行列式的性質(zhì);行列式計(jì)算方法; 矩陣及其初等變換的概念;矩陣化為階梯矩陣并由此求其行列式的方法;行列式按一行(列)展開定理;克蘭姆法則。

　　3. 線性方程組

　　消元法(用初等變換化線性方程組為階梯形，判斷線性方程組和非線性方程組的解的情況，求一般解);n 維向量空間的概念;向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)概念及與線性關(guān)系有關(guān)的重要結(jié)論;向量組的最大無關(guān)組及向量組的秩的概念;矩陣的秩的概念;非齊次線性方程組有解的充要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件;線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解等概念及解的結(jié)構(gòu)。

　　4. 矩陣

　　矩陣的概念;矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及運(yùn)算規(guī)律;矩陣乘積的行列式與秩;逆矩陣的概念及其存在的充分必要條件和有關(guān)性質(zhì); 分塊矩陣及其運(yùn)算;由矩陣的初等變換理解矩陣的等價(jià)、秩、逆的概念;用初等變換求矩陣秩的方法;分塊矩陣的初等變換。

　　5.二次型

　　二次型的定義及二次型的矩陣表示;合同變換;二次型的標(biāo)準(zhǔn)型;規(guī)范形的概念及其唯一性;慣性定理;二次型的分類及相關(guān)結(jié)論;正定二次型的概念及其判別法則;正定矩陣的概念及相關(guān)結(jié)論。

　　6. 線性空間

　　映射的概念及相關(guān)結(jié)論;線性空間的概念及相關(guān)結(jié)論;維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念及相關(guān)結(jié)論;基變換及過渡矩陣和坐標(biāo)變換公式;線性子空間的概念及相關(guān)結(jié)論;子空間的交、和、直和的概念和相關(guān)結(jié)論; 同構(gòu)的概念及相關(guān)結(jié)論。

　　7. 線性變換

　　線性變換的定義;線性變換的運(yùn)算和簡(jiǎn)單性質(zhì);線性變換在基下的矩陣及有關(guān)定理;線性變換的特征值和特征向量;特征多項(xiàng)式及有關(guān)性質(zhì);線性變換的值域與核的定義和有關(guān)定理;不變子空間的定義和有關(guān)結(jié)論;若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形;最小多項(xiàng)式的概念和應(yīng)用。

　　8. λ-矩陣

　　λ-矩陣的概念;初等變換化λ-矩陣成為標(biāo)準(zhǔn)形;不變因子;矩陣相似的條件;行列式因子;初等因子;化復(fù)數(shù)域矩陣成為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

　　9. 歐幾里得空間

　　歐幾里得空間的概念和性質(zhì);標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及相關(guān)結(jié)論;歐氏空間的同構(gòu)的概念及相關(guān)結(jié)論;正交變換及正交矩陣的概念及相關(guān)結(jié)論;子空間的概念;子空間的正交及相關(guān)結(jié)論;實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形;向量到子空間的距離;最小二乘法。

　　五、參考書目

　　1. 《高等代數(shù)》(第五版)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編，高等教育出版社，2019 年;

　　2. 《高等代數(shù)》(上下冊(cè))(第二版)，丘維聲，清華大學(xué)出版社，2019 年。